Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & 3 6 & 7 & - 3 9 & 4 & 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ 6 & 7 & - 3 \\ 9 & 4 & 6 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & 3 6 - 6 \cdot 1 & 7 - 6 \cdot - 1 & - 3 - 6 \cdot 3 9 & 4 & 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 7 - 6 \cdot - 1 & - 3 - 6 \cdot 3 \\ 9 & 4 & 6 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & 3 0 & 13 & - 21 9 & 4 & 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 13 & - 21 \\ 9 & 4 & 6 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & 3 0 & 13 & - 21 9 & 4 & 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 13 & - 21 \\ 9 & 4 & 6 \end{array}]$

Étape 1.2

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 9 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 9 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 9 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 9 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & 3 0 & 13 & - 21 9 - 9 \cdot 1 & 4 - 9 \cdot - 1 & 6 - 9 \cdot 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 13 & - 21 \\ 9 - 9 \cdot 1 & 4 - 9 \cdot - 1 & 6 - 9 \cdot 3 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & 3 0 & 13 & - 21 0 & 13 & - 21 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 13 & - 21 \\ 0 & 13 & - 21 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & 3 0 & 13 & - 21 0 & 13 & - 21 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 13 & - 21 \\ 0 & 13 & - 21 \end{array}]$

Étape 1.3

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

\frac{1}{13}

$\frac{1}{13}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

\frac{1}{13}

$\frac{1}{13}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & 3 \frac{0}{13} & \frac{13}{13} & \frac{- 21}{13} 0 & 13 & - 21 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ \frac{0}{13} & \frac{13}{13} & \frac{- 21}{13} \\ 0 & 13 & - 21 \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & 3 0 & 1 & - \frac{21}{13} 0 & 13 & - 21 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & - \frac{21}{13} \\ 0 & 13 & - 21 \end{array}]$

Étape 1.4

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 13 R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - 13 R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & - \frac{21}{13} \\ 0 - 13 \cdot 0 & 13 - 13 \cdot 1 & - 21 - 13 (- \frac{21}{13}) \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 1 & - \frac{21}{13} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.5

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 3 - \frac{21}{13} \\ 0 & 1 & - \frac{21}{13} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.5.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{18}{13} \\ 0 & 1 & - \frac{21}{13} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading

$1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions:

$a_{11}$ and

$a_{22}$

Pivot Columns:

$1$ and

$2$

Étape 3

The rank is the number of pivot columns.

$2$